In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: a² + b² = c².
c liegt gegenüber dem rechten Winkel.
Zahlen und Rechnen
Rechenregeln, mit denen jede Aufgabe beginnt.
1
Rechenreihenfolge: Klammer, Punkt, Strich
Zuerst wird gerechnet, was in Klammern steht, dann die Punktrechnung (mal und durch), zuletzt die Strichrechnung (plus und minus). Gleichrangige Rechnungen werden von links nach rechts gerechnet.
Merktrick
Klammer vor Punkt vor Strich.
Österreich: In Österreich schreibt man für mal meist den Punkt · und für durch den Doppelpunkt :.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
3 + 4 · 2 = 3 + 8 = 11
(3 + 4) · 2 = 7 · 2 = 14
20 : 4 · 5 = 5 · 5 = 25 (von links nach rechts)
Stolperstein
Bei 20 : 4 · 5 wird nicht zuerst 4 · 5 gerechnet. Mal und durch sind gleichrangig.
Mini-Check: Was passt?
8 + 2 · 3 = ? (14 / 30)
14: Punkt vor Strich: 2 · 3 = 6, dann 8 + 6.
(8 + 2) · 3 = ? (30 / 14)
30: Die Klammer zuerst: 10 · 3.
2
Rechnen mit negativen Zahlen: die Vorzeichenregeln
Beim Multiplizieren und Dividieren gilt: gleiche Vorzeichen ergeben plus, verschiedene Vorzeichen ergeben minus. Beim Addieren hilft die Zahlengerade: plus heißt nach rechts, minus nach links.
Merktrick
Minus mal minus ist plus.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
(−3) · (−4) = 12
(−3) · 4 = −12
−5 + 8 = 3
−5 − 3 = −8
Stolperstein
Bei −5 − 3 ist das Ergebnis −8, nicht −2. Zwei Schritte nach links auf der Zahlengeraden.
Mini-Check: Was passt?
(−6) · (−2) = ? (12 / −12)
12: Gleiche Vorzeichen ergeben plus.
−4 − 6 = ? (−10 / 2)
−10: Von −4 aus 6 Schritte nach links.
3
Potenzen und Wurzeln
Eine Potenz ist eine verkürzte Multiplikation: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Die Basis ist die Zahl, die Hochzahl (Exponent) sagt, wie oft multipliziert wird. Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Hochzahlen addiert. Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens: √25 = 5, weil 5² = 25.
Merktrick
Basis gleich, Hochzahlen plus.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
10⁴ = 10 000
2³ · 2² = 2⁵ = 32
√49 = 7
Stolperstein
2³ ist nicht 2 · 3 = 6, sondern 2 · 2 · 2 = 8.
Mini-Check: Was passt?
3² = ? (9 / 6)
9: 3 · 3 = 9.
5² · 5³ = 5^? (5 / 6)
5: Hochzahlen addieren: 2 + 3 = 5.
Brüche und Prozent
Bruchrechnen und Prozentrechnung, die Basis für viele Schularbeiten.
4
Brüche erweitern und kürzen
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert, beim Kürzen durch dieselbe Zahl dividiert. Der Wert des Bruchs bleibt gleich.
Merktrick
Oben und unten immer dasselbe tun.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
2/3 = 4/6 (mit 2 erweitert)
6/8 = 3/4 (durch 2 gekürzt)
12/18 = 2/3 (durch 6 gekürzt)
Stolperstein
Kürzen ist nur bei Multiplikation erlaubt, nicht bei Summen: (2 + 4)/4 darf man nicht einfach durch 2 kürzen, ohne den ganzen Zähler zu teilen.
Mini-Check: Was passt?
Kürze 10/15 so weit wie möglich. (2/3 / 5/10)
2/3: Durch 5 kürzen.
Erweitere 3/4 auf den Nenner 12. (9/12 / 3/12)
9/12: Mit 3 erweitern: 3 · 3 = 9.
5
Brüche addieren und subtrahieren
Brüche lassen sich nur addieren oder subtrahieren, wenn sie gleichnamig sind, also denselben Nenner haben. Dann werden die Zähler addiert oder subtrahiert, der Nenner bleibt. Sonst zuerst auf den gemeinsamen Nenner erweitern (kgV der Nenner).
Merktrick
Erst gleicher Nenner, dann Zähler rechnen.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
1/5 + 2/5 = 3/5
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
3/4 − 1/6 = 9/12 − 2/12 = 7/12
Stolperstein
Nie Nenner und Nenner addieren: 1/2 + 1/3 ist nicht 2/5.
Mini-Check: Was passt?
1/4 + 2/4 = ? (3/4 / 3/8)
3/4: Gleichnamig: Zähler addieren, Nenner bleibt.
1/2 + 1/4 = ? (3/4 / 2/6)
3/4: 1/2 = 2/4, dann 2/4 + 1/4.
6
Brüche multiplizieren und dividieren
Beim Multiplizieren: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Beim Dividieren wird mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert (Zähler und Nenner vertauscht).
Merktrick
Durch heißt mal Kehrwert.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
2/3 · 4/5 = 8/15
3/4 : 1/2 = 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2
5 · 2/3 = 10/3
Stolperstein
Beim Multiplizieren braucht man keinen gemeinsamen Nenner.
Der Grundwert ist das Ganze (100 %), der Prozentsatz gibt den Anteil in Prozent an, der Prozentwert ist der Teil. Es gilt: Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz : 100.
Merktrick
Immer zuerst den Grundwert suchen: Wovon sind es Prozent?
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
20 % von 80 € = 80 · 20 : 100 = 16 €
Preis 50 €, um 10 % reduziert: 50 − 5 = 45 €
12 von 48 Schüler:innen = 12 : 48 = 0,25 = 25 %
Stolperstein
Bei Rabatt und Aufschlag bezieht sich der Prozentsatz immer auf den ursprünglichen Preis, den Grundwert.
Mini-Check: Was passt?
10 % von 250 = ? (25 / 2,5)
25: 250 · 10 : 100.
Wie viel Prozent sind 15 von 60? (25 % / 15 %)
25 %: 15 : 60 = 0,25.
Terme und Gleichungen
Mit Variablen rechnen und Gleichungen sicher lösen.
8
Terme vereinfachen und Klammern auflösen
In einem Term dürfen nur gleichartige Glieder zusammengefasst werden: 3x + 2x = 5x, aber 3x + 2 bleibt so. Beim Ausmultiplizieren wird jedes Glied in der Klammer mit dem Faktor davor multipliziert.
Merktrick
Gleiche Buchstaben gehören zusammen.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
4a + 3a − a = 6a
3 · (x + 4) = 3x + 12
−(x − 5) = −x + 5
Stolperstein
Steht ein Minus vor der Klammer, ändern sich beim Auflösen alle Vorzeichen in der Klammer.
Mini-Check: Was passt?
2x + 5x = ? (7x / 7x²)
7x: Gleichartige Glieder addieren.
2 · (a + 3) = ? (2a + 6 / 2a + 3)
2a + 6: Jedes Glied mit 2 multiplizieren.
9
Gleichungen lösen
Eine Gleichung ist wie eine Waage: Was man auf einer Seite rechnet, muss man auch auf der anderen Seite rechnen. Ziel ist, dass die Unbekannte allein auf einer Seite steht. Zum Schluss die Probe machen.
Merktrick
Die Waage bleibt im Gleichgewicht.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
x + 7 = 12 | − 7 → x = 5
3x = 18 | : 3 → x = 6
2x + 4 = 10 | − 4 → 2x = 6 | : 2 → x = 3
Stolperstein
Die Probe nicht vergessen: x = 3 in 2x + 4 einsetzen ergibt 10. Stimmt.
Mini-Check: Was passt?
x − 4 = 9, x = ? (13 / 5)
13: Auf beiden Seiten + 4.
5x = 35, x = ? (7 / 30)
7: Auf beiden Seiten : 5.
10
Lineare Funktionen: y = k · x + d
Eine lineare Funktion hat als Graph eine Gerade. In y = k · x + d ist k die Steigung (wie viel y wächst, wenn x um 1 größer wird) und d der Schnittpunkt mit der y-Achse.
Merktrick
k für steil, d für den Start.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
y = 2x + 1: Start bei 1, pro Schritt nach rechts 2 nach oben
y = −x + 3: Start bei 3, fällt pro Schritt um 1
y = 3x: geht durch den Ursprung (d = 0)
Stolperstein
Ein negatives k bedeutet, dass die Gerade fällt.
Mini-Check: Was passt?
Bei y = 4x − 2: Wo schneidet die Gerade die y-Achse? (−2 / 4)
−2: d = −2.
Welche Funktion steigt steiler? (y = 3x / y = x + 3)
y = 3x: Die Steigung k = 3 ist größer als 1.
Geometrie
Umfang, Fläche und der Satz des Pythagoras.
11
Umfang und Fläche: Rechteck, Quadrat, Dreieck
Der Umfang ist die Länge des Randes, die Fläche der Inhalt. Rechteck: u = 2 · (a + b), A = a · b. Quadrat: u = 4 · a, A = a². Dreieck: A = Grundlinie · Höhe : 2.
Merktrick
Umfang außen herum, Fläche innen drin.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
Rechteck 5 cm × 3 cm: u = 16 cm, A = 15 cm²
Quadrat a = 4 m: A = 16 m²
Dreieck g = 6 cm, h = 4 cm: A = 12 cm²
Stolperstein
Flächen haben immer eine Quadrat-Einheit (cm², m²). Vor dem Rechnen alle Längen in dieselbe Einheit umrechnen.
Mini-Check: Was passt?
Rechteck 4 m × 2 m: Fläche? (8 m² / 12 m²)
8 m²: a · b = 4 · 2.
Rechteck 4 m × 2 m: Umfang? (12 m / 8 m)
12 m: 2 · (4 + 2).
12
Kreis: Umfang und Fläche
Für den Kreis mit Radius r gilt: Umfang u = 2 · r · π, Fläche A = r² · π. Die Kreiszahl π ist ungefähr 3,14. Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.
Merktrick
π ist ungefähr 3,14. Radius ist der halbe Durchmesser.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
r = 5 cm: u ≈ 2 · 5 · 3,14 = 31,4 cm
r = 5 cm: A ≈ 25 · 3,14 = 78,5 cm²
Durchmesser 10 cm bedeutet r = 5 cm
Stolperstein
Steht in der Angabe der Durchmesser, zuerst halbieren.
Mini-Check: Was passt?
r = 2 cm: Fläche ungefähr? (12,56 cm² / 6,28 cm²)
12,56 cm²: 4 · 3,14.
Durchmesser 8 cm, Radius? (4 cm / 16 cm)
4 cm: Halber Durchmesser.
13
Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: a² + b² = c². Dabei ist c die Hypotenuse, die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. a und b sind die Katheten.
Merktrick
c liegt gegenüber dem rechten Winkel.
Beispiele, Stolpersteine und Mini-Check
Beispiele
a = 3, b = 4: c² = 9 + 16 = 25, c = 5
a = 6, b = 8: c = 10
c = 13, a = 5: b² = 169 − 25 = 144, b = 12
Stolperstein
Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Ist eine Kathete gesucht, wird subtrahiert.
Mini-Check: Was passt?
a = 6, b = 8, c = ? (10 / 14)
10: 36 + 64 = 100, Wurzel ist 10.
Welche Seite ist die Hypotenuse? (die längste / die kürzeste)
die längste: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel.
So lösen Sie jede Textaufgabe
Die meisten Punkte gehen nicht beim Rechnen verloren, sondern beim Lesen der Aufgabe. Diese fünf Schritte helfen fast immer.
1. Lesen und markierenDie Aufgabe zweimal lesen, Zahlen und Einheiten markieren.
2. Gegeben und gesuchtAufschreiben, was bekannt ist und was berechnet werden soll.
3. Regel wählenDie passende Formel aus der Tabelle oben hinschreiben.
8 Fragen zu den Regeln oben. Nach jeder Antwort gibt es sofort die Erklärung, am Ende Tipps, was sich zu wiederholen lohnt.
Mathematik üben mit eduactive
Regeln zu verstehen ist der erste Schritt, sicher werden sie durch Üben. Die Lernhilfen MATHE KOMPAKT und DON'T PANIC! Mathe werten jede Übung sofort aus. Für die nächste Schularbeit hilft der Fünf-Tage-Plan unter Schularbeitsvorbereitung, bei einer schlechten Note die Seite Note verbessern.
Beim Addieren und Subtrahieren zuerst gleichnamig machen, dann die Zähler rechnen. Beim Multiplizieren Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Dividieren mit dem Kehrwert multiplizieren.
Wie berechnet man Prozent?
Prozentwert = Grundwert · Prozentsatz : 100. Beispiel: 20 % von 80 sind 80 · 20 : 100 = 16.
Wie löst man eine Gleichung?
Auf beiden Seiten immer dieselbe Rechnung durchführen, bis die Unbekannte allein steht. Zum Schluss die Probe machen.
Was ist der Satz des Pythagoras?
Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². c ist die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.
Welche Mathe-Themen kommen in welcher Klasse?
Typisch sind in der 1. Klasse natürliche Zahlen, Dezimalzahlen und Rechteck, in der 2. Klasse Brüche und einfache Gleichungen, in der 3. Klasse negative Zahlen, Prozent, Terme und Pythagoras, in der 4. Klasse Potenzen, lineare Funktionen und der Kreis. Die genaue Reihenfolge hängt vom Schulbuch ab.
Wie lerne ich Mathe für die Schularbeit?
Die Themen aufschreiben, die drankommen, zu jedem Thema Aufgaben selbst lösen und gezielt wiederholen, was noch nicht sitzt. Einen Fünf-Tage-Plan finden Sie unter Schularbeitsvorbereitung.
Gibt es Mathe-Übungen mit Lösungen?
Ja. Zu jeder Regel gibt es hier einen Mini-Check mit Lösung, das Quiz erklärt jede Antwort. In MATHE KOMPAKT und DON'T PANIC! Mathe wird jede Übung automatisch ausgewertet.
Gibt es die Übungen als PDF?
Die Übungen der Lernhilfen laufen interaktiv im Browser und werden sofort ausgewertet. Einen Einblick geben die Demo-Kapitel unter Demos ausprobieren.
Welche Lernhilfe passt zu welcher Klasse?
MATHE KOMPAKT und DON'T PANIC! Mathe gibt es jeweils für die 1. bis 4. Klasse Mittelschule und AHS, also die 5. bis 8. Schulstufe.
Was kostet eine Lizenz und verlängert sie sich automatisch?
Einzellizenzen gibt es ab € 11,90 für 3 Monate. Die Lizenz verlängert sich nicht automatisch.
